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プラトンの固体

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このコースの最初に、すべての辺と角度が同じである通常のポリゴンを特に「対称的な」ポリゴンとして定義しました。多面体についても同様のことができます。

_通常の多面体では、_すべてのはすべて同じ種類の通常のポリゴンであり、同じ数の面がすべての頂点で交わります。これら2つの特性を持つ多面体は、ギリシャの哲学者プラトンにちなんで名付けられたプラトニック立体と呼ばれます。

それでは、プラトンの固体はどのように見え、それらの数はいくつですか? 3次元形状を作成するには、すべての頂点で交わる面が少なくとも必要です。最小の正多角形、つまり正三角形から体系的に始めましょう。

3つの正三角形がすべての頂点で交わる多面体を作成すると、左側の形状になります。 四面体と呼ばれ、 面があります。 (「テトラ」はギリシャ語で「4」を意味します)。

4つの正三角形がすべての頂点で交わると、異なるプラトニックソリッドが得られます。 八面体と呼ばれ、 面があります。 (「オクタ」はギリシャ語で「8」を意味します。「オクタゴン」が8面の形状を意味するように、「八面体」は8面のソリッドを意味します。)

三角形がすべての頂点に満たしている場合は、私たちは二十面体を取得ます。それは顔を持っています。 (「イコサ」はギリシャ語で「20」を意味します。)

三角形がすべての頂点で交わると、別のことが起こります。 取得だけです三次元多面体の代わりに。

また、すべての頂点に7つ以上の三角形が存在しても、新しい多面体は生成されません。頂点の周囲に十分なスペースがないため、その数の三角形に適合しません。

これは、三角形で構成されるプラトニックソリッドが見つかったことを意味します。次の正多角形である正方形に移りましょう。

正方形がすべての頂点で交わると、 立方体になります。サイコロのように、 面があります。 この立方体は、ギリシャ語で「六」を意味する「ヘキサ」にちなんで、「 _六面体 」とも呼ばれます。_

正方形がすべての頂点で交わると、 得られます以前と同様に、5つ以上の正方形も機能しません。

次に、通常の五角形を試してみましょう。

五角形がすべての頂点で交わると、12 面体になります。それは顔を持っています。 (「ドデカ」はギリシャ語で「12」を意味します。)

以前と同様に、4つ以上の五角形十分なスペースがないためです。

次に試す正多角形は六角形です。

3つの六角形がすべての頂点で交わると、すぐに得られます 3つ以上のスペースがないため、六角形で構成されるプラトニックソリッドはないようです。

同じことが、6辺を超えるすべての通常のポリゴンにも起こります。それらはテッセレーションせず、3次元のポリゴンも得られません。

つまり、プラトニックソリッドはしかありません。それらすべてを一緒に見てみましょう:

四面体


頂点
エッジ

キューブ


頂点
エッジ

八面体


頂点
エッジ

正十二面体


20頂点
30エッジ

正二十面体


12頂点
30エッジ

面と頂点の数がいることに注意してください 立方体および八面体 、ならびに面体及び二十面体のためのエッジの数はながらます。これらのプラトニックソリッドのペアはデュアルソリッドと呼ばれます。

すべての面を頂点で、すべての頂点を面で「置き換える」ことにより、多面体をその双対に変えることができます。これらのアニメーションは、次の方法を示しています。

四面体はそれ自体と二重です。同じ数の面と頂点があるので、それらを交換しても何も変わりません。

プラトンは、宇宙のすべての問題は、空気、地球、水、火の4つの要素で構成されると信じていました。彼はすべての要素がプラトンの固体の1つに対応し、5番目の要素は全体として宇宙を表すと考えました。今日、多面体ではなく、球形の原子で構成される100以上の異なる要素があることを知っています。

Images from Johannes Kepler’s book “Harmonices Mundi” (1619)

アルキメデスの固体

プラトンの立体は特に重要な多面体ですが、他にも無数にあります。

たとえば、 アルキメデスの立体は依然として正多角形で構成する必要がありますが、複数の異なるタイプを使用できます。彼らは別のギリシャの数学者、 シラキュースのアルキメデスにちなんで名付けられ、それらの13があります:

切頂四面体
8面、12頂点、18エッジ

立方八面体
14面、12頂点、24エッジ

切り詰められたキューブ
14面、24頂点、36エッジ

切頭八面体
14面、24頂点、36エッジ

菱形立方八面体
26面、24頂点、48エッジ

切り捨てられた立方八面体
26面、48頂点、72エッジ

スナブキューブ
38面、24頂点、60エッジ

正十二面体
32面、30頂点、60エッジ

切頭十二面体
32面、60頂点、90エッジ

切頂二十面体
32面、60頂点、90エッジ

菱形二十面体
62面、60頂点、120エッジ

切頂正二十面体
62面、120頂点、180エッジ

十二面体
92面、60頂点、150エッジ

用途

プラトンは、すべての要素がプラトンの固体で構成されていると信じていたのは間違いでした。しかし、通常の多面体には、自然のどこかに現れるような多くの特別な特性があり、これらの特性を科学や工学にコピーすることができます。

Radiolaria skeleton

Icosahedral virus

多くのウイルス細菌 、その他の小さな生物は、 二十面体のような形をしています。たとえば、ウイルスは遺伝物質を多くの同一のタンパク質ユニットの殻の中に閉じ込めなければなりません。正二十面体は、いくつかの通常の要素で構成されていますが、ほぼ球のような形をしているため、これを行うには最も効率的な方法です。

Buckyball molecule

Montreal Biosphere

多くの分子は通常の多面体のような形をしています。最も有名な例はC60これは、60の炭素原子が切り捨てられた20面体の形で配置されたものです。

それは科学者が星間塵を研究したときに1985年に発見されました。彼らは、似たような建物の建設で有名な建築家バックミンスターフラーにちなんで、「バッキーボール」(またはバックミンスターフラーレン)と名付けました。

Fluorite octahedron

Pyrite cube

ほとんどの結晶は、 四面体立方体八面体からなる規則的なグリッドに原子が配置されています。彼らが割れたり粉々になったりすると、これらの形状をより大きなスケールで見ることができます。

Octagonal space frames

Louvre museum in Paris

四面体と八面体は非常に剛性が高く安定しているため、 建設に非常に役立ちます。 _スペースフレーム_は、大きな屋根や重い橋を支えることができる多角形構造です。

Football

Polygonal role-playing dice

プラトンの固体はまた、 サイコロを作成するために使用されます。対称性があるため、すべての面で上向きに着地する可能性があります。そのため、サイコロは公平です。

切頂二十面体はおそらく世界で最も有名な多面体です。それはサッカーの形です。