プラトンの固体

このコースの最初に、すべての辺と角度が同じである通常のポリゴンを特に「対称的な」ポリゴンとして定義しました。多面体についても同様のことができます。

_通常の多面体では、_すべての面はすべて同じ種類の通常のポリゴンであり、同じ数の面がすべての頂点で交わります。これら2つの特性を持つ多面体は、ギリシャの哲学者プラトンにちなんで名付けられたプラトニック立体と呼ばれます。

それでは、プラトンの固体はどのように見え、それらの数はいくつですか？ 3次元形状を作成するには、すべての頂点で交わる面が少なくとも必要です。最小の正多角形、つまり正三角形から体系的に始めましょう。

また、すべての頂点に7つ以上の三角形が存在しても、新しい多面体は生成されません。頂点の周囲に十分なスペースがないため、その数の三角形に適合しません。

これは、三角形で構成されるプラトニックソリッドが見つかったことを意味します。次の正多角形である正方形に移りましょう。

次に、通常の五角形を試してみましょう。

五角形がすべての頂点で交わると、12 面体になります。それは顔を持っています。 （「ドデカ」はギリシャ語で「12」を意味します。）

次に試す正多角形は六角形です。

3つの六角形がすべての頂点で交わると、すぐに得られます多面体六面体 。 3つ以上のスペースがないため、六角形で構成されるプラトニックソリッドはないようです。

同じことが、6辺を超えるすべての通常のポリゴンにも起こります。それらはテッセレーションせず、3次元のポリゴンも得られません。

つまり、プラトニックソリッドはしかありません。それらすべてを一緒に見てみましょう：

面と頂点の数がいることに注意してください 立方体および八面体 、ならびに面体及び二十面体のためのエッジの数はながら違います。これらのプラトニックソリッドのペアはデュアルソリッドと呼ばれます。

すべての面を頂点で、すべての頂点を面で「置き換える」ことにより、多面体をその双対に変えることができます。これらのアニメーションは、次の方法を示しています。

四面体はそれ自体と二重です。同じ数の面と頂点があるので、それらを交換しても何も変わりません。

プラトンは、宇宙のすべての問題は、空気、地球、水、火の4つの要素で構成されると信じていました。彼はすべての要素がプラトンの固体の1つに対応し、5番目の要素は全体として宇宙を表すと考えました。今日、多面体ではなく、球形の原子で構成される100以上の異なる要素があることを知っています。

Images from Johannes Kepler’s book “Harmonices Mundi” (1619)

アルキメデスの固体

プラトンの立体は特に重要な多面体ですが、他にも無数にあります。

たとえば、 アルキメデスの立体は依然として正多角形で構成する必要がありますが、複数の異なるタイプを使用できます。彼らは別のギリシャの数学者、 シラキュースのアルキメデスにちなんで名付けられ、それらの13があります：

用途

プラトンは、すべての要素がプラトンの固体で構成されていると信じていたのは間違いでした。しかし、通常の多面体には、自然のどこかに現れるような多くの特別な特性があり、これらの特性を科学や工学にコピーすることができます。