プラトンの固体
このコースの最初に、すべての辺と角度が同じである
_通常の多面体では、_すべての
それでは、プラトンの固体はどのように見え、それらの数はいくつですか? 3次元形状を作成するには、すべての頂点で交わる面が少なくとも
3つの
4つの正三角形がすべての頂点で交わると、異なるプラトニックソリッドが得られます。 八面体と呼ばれ、
また、すべての頂点に7つ以上の三角形が存在しても、新しい多面体は生成されません。頂点の周囲に十分なスペースがないため、その数の三角形に適合しません。
これは、三角形で構成される
次に、通常の五角形を試してみましょう。
以前と同様に、4つ以上の五角形
次に試す正多角形は六角形です。
3つの六角形がすべての頂点で交わると、すぐに
同じことが、6辺を超えるすべての通常のポリゴンにも起こります。それらはテッセレーションせず、3次元のポリゴンも得られません。
つまり、プラトニックソリッドは
四面体
キューブ
八面体
正十二面体
20頂点
30エッジ
正二十面体
12頂点
30エッジ
面と頂点の数が
すべての面を頂点で、すべての頂点を面で「置き換える」ことにより、多面体をその双対に変えることができます。これらのアニメーションは、次の方法を示しています。
四面体はそれ自体と二重です。同じ数の面と頂点があるので、それらを交換しても何も変わりません。

Images from Johannes Kepler’s book “Harmonices Mundi” (1619)
アルキメデスの固体
プラトンの立体は特に重要な多面体ですが、他にも無数にあります。
たとえば、
切頂四面体
8面、12頂点、18エッジ
立方八面体
14面、12頂点、24エッジ
切り詰められたキューブ
14面、24頂点、36エッジ
切頭八面体
14面、24頂点、36エッジ
菱形立方八面体
26面、24頂点、48エッジ
切り捨てられた立方八面体
26面、48頂点、72エッジ
スナブキューブ
38面、24頂点、60エッジ
正十二面体
32面、30頂点、60エッジ
切頭十二面体
32面、60頂点、90エッジ
切頂二十面体
32面、60頂点、90エッジ
菱形二十面体
62面、60頂点、120エッジ
切頂正二十面体
62面、120頂点、180エッジ
十二面体
92面、60頂点、150エッジ
用途
プラトンは、すべての要素がプラトンの固体で構成されていると信じていたのは間違いでした。しかし、通常の多面体には、自然のどこかに現れるような多くの特別な特性があり、これらの特性を科学や工学にコピーすることができます。
Radiolaria skeleton
Icosahedral virus
多くのウイルス 、 細菌 、その他の小さな生物は、
Buckyball molecule
Montreal Biosphere
多くの分子は通常の多面体のような形をしています。最も有名な例は
それは科学者が星間塵を研究したときに1985年に発見されました。彼らは、似たような建物の建設で有名な建築家
Fluorite octahedron
Pyrite cube
ほとんどの結晶は、
Octagonal space frames
Louvre museum in Paris
四面体と八面体は非常に剛性が高く安定しているため、 建設に非常に役立ちます。 _スペースフレーム_は、大きな屋根や重い橋を支えることができる多角形構造です。
Football
Polygonal role-playing dice
プラトンの固体はまた、 サイコロを作成するために使用されます。対称性があるため、すべての面で上向きに着地する