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円と円周率前書き

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人間が存在する限り、私たちは空を見つめ、星、惑星、月の動きを使って地球上の生命を説明しようとしました。

古代ギリシャの天文学者は、すべての天体が軌道と呼ばれる通常の経路上を移動することを発見した最初の人でした。彼らはこれらの軌道は常に円形であると信じていました。結局のところ、円はすべての形の「最も完全な」ものです。つまり、あらゆる方向に対称であり、宇宙の基本的な秩序にふさわしい選択です。

地球はプトレマイオス宇宙の_中心にあり_ます

円のすべての点は、中心からの距離が同じです。これは、 コンパスを使用して描画できることを意味します。

知っておくべき円に関連する3つの重要な測定があります。

  • 半径は、円の中心からその外縁までの距離です。
  • 直径は、円の2つの向かい合う点の間の距離です。中央を通り、長さは半径です。
  • 円周 (または周長)は、円の周りの距離です。

円の重要な特性の1つは、すべての円が類似していることです。単純な翻訳膨張を使用してすべての円を一致させる方法を示すことで、それを証明できます。

類似のポリゴンの場合、対応する辺間の比率は常に一定であることを覚えているかもしれません。円についても同様の動作が行われます。 円周直径の比率は_すべての円で_同じです。常に3.14159です。– Piと呼ばれる神秘的な数で、「p」のギリシャ文字のπとしてよく書かれます。 Piには、特定のパターンなしで永遠に続く無限に多くの10進数があります。

これが直径1のホイールです。円周を「展開」すると、長さが正確にわかることがわかります

01234π

直径_dの_円の場合、円周はC=π×d 。同様に、 半径 _rの_円の場合、円周は

C=

円は完全に対称であり、ポリゴンの角のような「弱点」はありません。これが自然界のどこにでも見つかる理由の1つです。

フラワーズ

惑星

フルーツ

シャボン玉

そして、他にも非常に多くの例があります。虹から水の波紋までです。他に何か考えられますか?

また、円は特定の円周で最大の面積を持つ形状であることがわかります。たとえば、長さが100  mのロープがある場合、(長方形や三角形などの他の形状ではなく)円を形成する場合、それを使用して最大のスペースを囲むことができます。

自然界では、水滴や気泡などのオブジェクトは、円形または球形になり、表面積を減らすことでエネルギー節約_でき_ます

Triangle
Square
Pentagon
Circle

円周 = 100面積 = ${area}

円の面積

しかし、実際にはどのようにして円の面積を計算しますか? 四角形の領域見つけるために使用したのと同じ手法を試してみましょう。形状を複数の異なる部分にカットしてから、それらをすでにわかっている別の形状(たとえば、長方形または三角形)に再配置します。

唯一の違いは、円は湾曲しているため、いくつかの近似を使用する必要があることです。

rπr

ここでは、円が分割されています。 ${toWord(n1)}厚切りポテト。スライダーを動かして、くさびを一列に並べます。

くさびの数を${n1} 、この形状はますますように見え始め

長方形の高さはと等しい円の長方形の幅は等しい (くさびの半分が下向きで、半分が上向きであることに注意してください。)

したがって、長方形の総面積はおよそA=πr2

r2πr

ここでは、円が分割されています。 ${toWord(n)}リング。以前と同様に、スライダーを動かしてリングを「ほどく」ことができます。

リングの数を増やすと${n2} 、この形はますますように見え始めます

三角形の高さは等しい三角形の底辺は等しい したがって、三角形の総面積はおよそ

A=12base×height=πr2

無限に多くのリングまたはウェッジを使用できる場合、上記の近似は完璧です-そして、どちらも円の面積に対して同じ式を与えます:

A=πr2

円周率の計算

上で見たように、 π=3.1415926は単純な整数ではなく、その10進数は繰り返しパターンなしで永遠に続きます。このプロパティを持つ数値は無理数と呼ばれます 。これは、 π単純な分数として表現することはできませんab

これはまた、Piの_すべて_の桁を書き留めることができないことを意味します。結局のところ、無限に多くあります。古代ギリシャと中国の数学者は、円を正多角形で近似することにより、パイの最初の4桁を計算しました。辺を追加すると、ポリゴンが見え始めサークルのように:

1665年、 アイザックニュートンは15桁の計算に成功しました。今日では、強力なコンピューターを使用してPiの値をはるかに高い精度で計算できます。

現在の記録は31.4兆桁です。これらすべての数字を含む印刷された本は、約400  kmの厚さになります。これが、 国際宇宙ステーションが地球を周回する高さです。

もちろん、パイの桁数を覚えておく必要はありません。実際、割合227=3.142素晴らしい近似です。

Piを計算する1つの方法は、無限の数列を使用することです。 1676年にGottfried Wilhelm Leibnizによって発見された1つの例を次に示します。

π=4143+4547+494+

このシリーズの項を計算するにつれて、常に同じパターンに従って、結果はPiにますます近づきます。

多くの数学者は、Piにはさらに奇妙な特性があると信じています。それは通常の数であるということです。つまり、まるで自然が10面のサイコロを無限に転がしてPiの値を決定したかのように、0〜9の数字は完全にランダムに表示されます。

ここにPiの最初の100桁が表示されます。いくつかのセルの上に移動して、数字がどのように分布しているかを確認します。

3
.
1
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1
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2
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5
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2
1
1
7
0
6
7
9

Piが正常である場合は、 _任意_の数字列を考えることができ、数字のどこかに表示されます。ここでは、Piの最初の100万桁を検索できます。これには誕生日が含まれていますか?

100万桁のPi

Search for a string of digits:
3.

ハリーポッターのような本全体を非常に長い数字の文字列(a = 01、b = 02など)に変換することもできます。 Piが正常である場合、この文字列は数字のどこかに表示されますが、それを見つけるのに十分な数字を計算するには数百万年かかります。

Piは理解しやすいですが、科学と数学では基本的に重要です。それがPiが私たちの文化で異常に人気になった理由かもしれません(少なくとも、他の数学のトピックと比較して):

Pi is the secret combination for the tablet in “Night at the Museum 2”.

Professor Frink (“Simpsons”) silences a room of scientists by saying that Pi equals 3.

Spock (“Star Trek”) disables an evil computer by asking it to calculate the last digit of Pi.

毎年_Piの日_があり、3月14日になる。 π3.14 、または7月22日π227