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四辺形

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前のコースでは、三角形のさまざまな特性を調査しました。それでは、四辺形を見てみましょう。

_通常の四辺形_はと呼ばれます 。辺はすべて同じ長さで、角度はすべて同じです。

正方形は、 4つの等しい辺4つの等しい角度を持つ四角形です。

わずかに「あまり規則的でない」四辺形の場合、2つのオプションがあります。 _角度_を等しくしたいだけの場合は、 長方形になります。 を等しくしたいだけの場合は、 ひし形になります。

長方形は、 4つの等しい角度を持つ四角形です。

菱形は、 4つの等しい辺を持つ四辺形です。

他にもいくつかの四辺形がありますが、これらはさらに規則的ではありませんが、特定の重要な特性があります。

_反対_側の両方のペアが平行であるならば、我々は平行四辺形を取得ます。

2組の_隣接する_辺の長さが同じである場合、 カイトを取得します。

少なくとも1対の反対側が平行である場合、 台形になります。

四辺形は、これらのカテゴリの複数に分類できます。さまざまなタイプの四辺形の階層をベン図として視覚化できます。

たとえば、すべての長方形も 、そしてすべてのも凧です。ひし形は正方形と長方形は台形

あいまいさを避けるために、通常は最も具体的なタイプのみを使用します。

次に、左側の灰色のボックスの任意の場所で4つの点を選択します。 それらすべてを接続して四辺形を形成できます。

4つの辺それぞれの中点を見つけましょう。中点を接続すると、 得られます

外側の四辺形の頂点を移動して、小さい方の四辺形がどうなるかを観察してください。それはただ四角形ではないように見えますが、常に

しかし、なぜそうなのでしょうか?なぜ、 _どの_四辺形のための結果は常に平行四辺形になってしまうでしょうか?説明を助けるために、元の四辺形の対角線の1つを描く必要があります。

対角線は四辺形を2つの三角形に分割します。そして今、あなたは内側の四辺形の2つの側面が実際にはことを見ることができますこれらの三角形の

前のコースでは、三角形の中央のセグメントが常にその底面に平行であることを示しました。この場合、これはこれらの両方の辺が対角線に平行であることを意味します–したがって、それらもなければなりませんです。

四辺形の2番目の対角線とまったく同じようにして、反対側の両方のペアが平行であることを示すことができます。そして、これは、内側の四辺形が平行四辺形であることを証明するために必要なすべてです。

平行四辺形

平行四辺形には、反対側が平行である以外に、他にも多くの興味深い特性があることがわかります。次の6つの説明のうち、正しいものはどれですか。

The opposite sides are congruent.
The internal angles are always less than 90°.
The diagonals bisect the internal angles.
The opposite angles are congruent.
Both diagonals are congruent.
Adjacent sides have the same length
The two diagonals bisect each other in the middle.

もちろん、これらの特性を単に「観察」するだけでは十分ではありません。それらが_常に_真であることを確認するには、それらを_証明_する必要があります。

反対側と角度

平行四辺形の反対側と角度が常に合同であることを証明してみましょう。

平行四辺形の対角線の1つを描くことから始めます。

対角線は、平行四辺形の側面と4つの新しい角度を作成します。 2つの赤の角度と2つの青の角度交互の角度なので、それぞれ必要があります

ここで、対角線によって作成された2つの三角形を見ると、それらには2つの合同な角度と1つの合同な辺があることがわかります。 によって合同条件。両方の三角形が合同でなければなりません。

これは、三角形の他の対応する部分も合同でなければならないことを意味します。特に、 反対側の両方のペアは合同であり、反対側の角度の両方のペアは合同です。

逆も真であることがわかります。四辺形の反対側(または角度)の両方のペアが合同である場合、四辺形は平行四辺形でなければなりません。

対角線

次に、平行四辺形の2つの対角線が互いに二等分していることを証明します。

対角線によって生成された2つの黄色の三角形について考えてみましょう。

  • 2つの辺は平行四辺形の反対側であるため、合同であることを証明しました。 * 2つの赤の角度2つの青の角度であるため合同です

によってしたがって、 条件では、両方の黄色の三角形も一致している必要があります。

これで、合同な三角形の対応する部分も合同であるという事実を使用して、 AM = CMそしてBM = DM 。言い換えれば、2つの対角線はそれらの中点で交差します。

以前と同様に、反対も当てはまります。四辺形の2つの対角線が互いに二等分している場合、四辺形は平行四辺形です。

上で 2つのペアが平行四辺形の辺は合同です。カイトでは、2組の_隣接する_側面が合同です。

の名前はその形に由来します。空を飛ぶことができる凧のように見えます。ただし、これまでに見たすべての特別な四辺形の中で、カイトだけが凹面になることもできます。ダーツまたは矢印のような形状の場合:

凸凧

矢のような凹んだ凧

すべての凧がことに気づいたかもしれませんます。 対称軸は

対角線はカイトを2つの合同な三角形に分割します。これらはSSS条件から合同であることがわかります。両方の三角形には3つの合同な辺 (赤、緑、青)があります。

したがって、 CPOCTを使用すると、 対応する角度も合同でなければならないことがわかります。

これは、たとえば、 対角線であることを意味します両端の2つの角度の

さらに進むことができます。 もう1つの対角線を描くと、さらに2つの小さな三角形ができます。 SAS条件のため、これらも一致する必要があります。2つの側面が同じで、角度が含まれています。

これは、 角度α角度βと同じでなければならないことを意味します。それらは隣接しているため、αとβの両方の補足角度°でなければなりません。

つまり、凧の対角線は常に

四辺形の面積

前のコースで三角形の面積を計算するときに、それを変換するトリックを使用しました 。一部の四辺形についてもそれが可能であることがわかります。

平行四辺形

左側で、平行四辺形と同じ面積の長方形を描こうとします。

左側の欠けている三角形ことがわかりますか右のオーバーラップする三角形 したがって、平行四辺形の面積は

面積= ベース × 高さ

平行四辺形の高さを測定するときは注意してください。通常、これは2つの側面の1つと同じではありません。

台形

台形は、1対の平行な辺を持つ四辺形であることを思い出してください。これらの平行な側面は、台形の底面と呼ばれます。

前と同じように、この台形と同じ面積の長方形を描こうとします。 左側と右側の不足している三角形と追加された三角形がどのように相殺されるかを確認できますか?

この矩形の高さ であります台形の平行な辺の

長方形の間の距離です台形の平行でない2つの辺のこれは台形の中節と呼ばれます。

三角形と同じように、台形のmidsegmentはその2つのベース 。中間セグメントの長さは、ベースの長さの平均です。 a+c2

これをすべて組み合わせると、平行な辺ac 、高さhの台形の面積の方程式が得られます。

A=h×a+c2

このカイトでは、 2つの対角線がカイトを囲む大きな長方形の幅と高さを形成します。

この長方形の面積はカイトのの面積。 カイトを構成する4つの三角形のそれぞれが、その外側の4つのギャップと同じであることがわかりますか?

これは、対角線を持つカイトの領域が d1および d2

面積 = 12 d1 × d2

ひし形

菱形は、4つの合同な辺を持つ四辺形です。すべてのひし形はであることを覚えているかもしれません –そして

これは、ひし形の領域を見つけるために、平行四辺形の領域の式、または凧の領域の式のいずれかを使用できることを意味します。

面積 = ベース × 高さ = 12 d1 × d2

異なるコンテキストでは、菱形の異なる部分(辺、高さ、対角線)が与えられる可能性があり、より便利な方の方程式を選択する必要があります。