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ポリゴン

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#ポリゴンと多面体

ポリゴンとは、閉じた平らな形状で、辺がまっすぐなだけです。ポリゴンは任意の数の辺と角度を持つことができますが、辺を湾曲させることはできません。以下の形状のどれがポリゴンですか?

polygon-1
polygon-2
polygon-3
polygon-4
polygon-5
polygon-5_1

ポリゴンの側面の数に応じて、ポリゴンに異なる名前を付けます。

number-3

Triangle
3 sides

number-4

Quadrilateral
4 sides

number-5

Pentagon
5 sides

number-6

Hexagon
6 sides

number-7

Heptagon
7 sides

number-8

Octagon
8 sides

ポリゴンの角度

n個_の辺を持つすべてのポリゴンも_、n個 内角を持っています。三角形の内角の合計が常に°であることはすでにわかっていますが、他のポリゴンについてはどうでしょうか。

${a1[0]}° + ${a1[1]}° + ${a1[2]}° + ${360-a1[0]-a1[1]-a1[2]}° =

${a2[0]}° + ${a2[1]}° + ${a2[2]}° + ${a2[3]}° + ${540-a2[0]-a2[1]-a2[2]-a2[3]}° =

四辺形の内角の合計は常に°–正確に三角形の角度の合計のこれは偶然ではありません。すべての四辺形を2つの三角形に分割できます。

triangles-4
triangles-1
triangles-2
triangles-3

大きなポリゴンでも同じことが言えます。五角形を三角形に分割できるため、その内角の合計は3×180°= °六角形を三角形に分割できるため、その内角の合計は4×180°= °

ポリゴン${x}側面の内角の合計は180°× ${x-2} = ${(x-2)*180}°。より一般的には、 n辺を持つポリゴンは分割できます。 三角形。したがって、

n角形の内角の合計=n2×180°

凸型ポリゴンと凹型ポリゴン

「内側を指す」セクションがある場合、多角形は凹形であると言います。この部分が「陥没」していると想像できます。凹型で_ない_ポリゴンは、 凸型と呼ばれます。

凹型ポリゴンを簡単に識別する方法は2つあります。それらには、180°より大きい内角が少なくとも1つあります。また、ポリゴンの_外側に_ある少なくとも1つの対角線があります

一方、凸多角形では、すべての内角が°未満で、すべての対角線がポリゴンの

これらのポリゴンのどれが凹型ですか?

concave-1
concave-2
concave-3
concave-4
concave-5
concave-6

通常のポリゴン

すべての辺の長さが同じで、すべての角度が同じサイズの場合、ポリゴンは正則であると言います。これらの形状のどれが正多角形ですか?

regular-1
regular-2
regular-3
regular-4
regular-5
regular-6

通常のポリゴンにはさまざまなサイズがありますが、同じ数の辺を持つすべての通常のポリゴンます!

ポリゴンのすべての内角の合計はすでにわかっています。通常のポリゴンの場合、これらの角度はすべてので、単一の内角のサイズをできます。

角度= = 180°×x2x=180°360°x

もしn=3正三角形の内角のサイズを取得します。これは°でなければならないことはすでにわかっています。 正多角形で${x}側面、すべての内角は180°- 360°${x} = ${round(180-360/x)}°。

正多角形の面積

ここであなたは正多角形を見ることができます${n}側面。すべての辺に長さがあります 1分その面積を計算してみましょう!

まず、ポリゴンを${toWord(n)}合同、 三角形。

私たちはすでに知っていこれらの三角形のですが、 も必要ですその面積を計算できるようにするための通常のポリゴンでは、この高さは、 apothem

アポセムと二等辺三角形の底辺の半分によって形成された直角三角形があることに注意してください。これは、三角法を使用できることを意味します!

二等辺三角形(これらをαと呼びます)の底角ポリゴンの内角サイズ:

α=12180°360°${n}=${round(90-180/n,2)}

アポテムを見つけるには、 の定義を使用できます。

tanα=oppositeadjacent=

apothem=12s×tanα=${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}m

今、 二等辺三角形の面積は

12base×height=121m×${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}=${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

ポリゴンは${toWord(n)}これらの二等辺三角形のうち、すべて同じ面積です。したがって、ポリゴンの総面積は

A=${n}×${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}=${round(n×tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2