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円と円周率接線、和音、円弧

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前のセクションでは、中心、半径、直径、円周など、円のいくつかの異なる部分に付けられた名前を学びました。ただし、円に関連する多くの幾何学的要素があり、より複雑な問題を解決する必要があります。

  • 割線は、2点で円と交差する線です。
  • は、端点が円の円周上にある線分です。
  • 接線は、正確に1点で円に接する線です。これは接点と呼ばれます。
  • 円弧は円周の一部です。
  • セクターは、 _円弧2つの半径_で囲まれた円の内部の一部です。
  • 最後に、 セグメントは、 _円弧弦_で囲まれた円の内部の一部です。

このセクションでは、これらすべての要素間の関係を調べ、それらの特性についての定理を証明します。今のところすべての定義を覚えておく必要はありません。いつでも用語集を使用できます。

接線

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和音

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弧とセクター

古代ギリシャのほとんどの科学者は、地球が球であることに同意しました。たくさんの証拠がありました:船が海の地平線の後ろに姿を消したことから、夜間の星の円運動まで。

残念ながら、紀元前200年頃まで数学者エラトステネスが基本的な形状を使用して地球の半径を測定する独創的な方法を発見するまで、誰も地球の_大きさを_正確に知りませんでした。必要なのは、円弧と円弧のセクターに関するもう少しの知識です。

図からわかるように、 一部です円の 、およびセクター一部です円の

2つの点Aと_Bの_間の弧は、 AB 。この定義は少しあいまいです。 ABを結ぶ2番目の円弧ですが、円の周りを逆方向に進みます。

2つの円弧の小さい方がマイナーアークと呼ばれ、大きい方が大きな弧を呼ばれています。点ABが互いに正反対の場合、両方の弧は同じ長さでなります

弧の長さまたは扇形の面積を見つけるには、円の中心での対応する角度を知る必要があります。これは、 中心角

円弧、扇形、および角度がすべて、完全な円の_同じ割合を占める_ことに注意してください。たとえば、 中心角 、それはを占めますの1 全周

これは、 弧の長さ14円の全周 、そしてセクターの面積14サークル全体

この関係を方程式で表すことができます。

arc lengthcircumference=circle area=central angle

これで、これらの方程式を整理して、興味のある変数を見つけることができます。たとえば、

弧長=circumference×c360
=2πr×c360
セクターエリア=circle area×c360
=πr2×c360

ここで、 rは円の半径、 cは中心角のサイズです。

中心角がではなくラジアンで測定される場合、同じ方程式を使用できますが、360°を

弧長=2πr×c2π
=r×c
セクターエリア=πr2×c2π
=12r2c

方程式がはるかに単純になり、 πはどこでも相殺されることに注意してください。これは、覚えているかもしれませんが、ラジアン定義は基本的に半径1の円弧の長さだからです。

次に、円弧と扇形を使用して地球の円周を計算する方法を見てみましょう。

古代エジプトでは、 _スウェネ_市はナイル川沿いにありました。スウェネは不思議な性質の井戸で有名でした。太陽の光が井戸の底に届くのは毎年6月21日の正午、 _夏至の_日です。その正確な時間に、井戸の底は照らされましたが、側面は照らされていませんでした。これは、太陽が井戸の真上に立っていたことを意味します。

古代エジプト人は、歩くのに必要な歩数を数えることで長距離を測定しました。

一部の情報筋は、「エラトステネスの泉」はナイル川の_エレファンティネ島_にあったと述べています。

数学者エラトステネスは、スウェネの北約800 kmにある_アレクサンドリア_に住んでおり、大図書館の館長を務めていました。アレクサンドリアの市内中心部には、ピラミッド型の頂部を備えた背の高い細長い記念碑であるオベリスクが立っていました。

エラトステネスは、夏至の日の正午に、オベリスクが影を投げたことに気づきました。これは、太陽が真上に_ない_ことを意味します。彼はこれが地球の曲率によるものであると推定し、それが私たちの惑星の円周を計算するために使用できることに気づきました。

ここでは、スウェネの井戸とアレクサンドリアのオベリスクを見ることができます。太陽光線は直接井戸に落ちますが、斜めにオベリスクに当たり、影を落とします。

エラトステネスは、 影の角度は7.2°でした。これは同じですの中心角 アレクサンドリアからSwenetにアーク 、彼らはであるため、 角度。

これで、上記で導出した弧長の式を使用できます。

arc lengthcircumference=°360°

これを並べ替えると、地球の周囲が

circumference=360°7.2°×800 km=km

最後に、円の円周はC=2πrなので、地球の半径は

rEarth=40000km2π6400km

エラトステネスの測定は、古代における最も重要な実験の1つでした。彼の地球の大きさの推定値は驚くほど正確でした。特に、非常に基本的な測定ツールしか使用できなかったと考えた場合はなおさらです。

もちろん、彼の元の結果をキロメートルなどの現代の単位に変換することは難しい場合があります。古代ギリシャでは、距離はスタジア (約160 m)で測定されましたが、普遍的な基準はありませんでした。すべての地域で若干異なるバージョンがあり、どのエラトステネスが使用されたかはわかりません。

次の数世紀、科学者は地球の半径を計算するために他の方法を使用しようとしました-時々非常に異なって、不正確な結果で。

クリストファーコロンブスがポルトガルから西に航海するきっかけとなったのは、こうした誤った測定の1つでした。彼は地球が実際よりもはるかに小さいと仮定し、インドに到達することを望んだ。実際、彼はアメリカ大陸の間に別の大陸に到着しました。

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