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円と円周率度とラジアン

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これまでのジオメトリでは、角度を単位で常に測定してきました。あ全円回転は°半円°四分円°、などです。

360という数値は、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15など、他の多くの数値で割り切れるので非常に便利です。これは、1つの円の多くの分数も整数であることを意味します。しかし、360という数字がどこから来るのか疑問に思ったことはありませんか?

偶然にも、360度は、今日でも使用されている数学の最も古い概念の1つです。それらは5000年以上前の古代バビロンで開発されました!

当時、数学の最も重要な用途の1つは天文学でした。 _太陽_は、農家が作物を栽培するときに知っておく必要がある四季を決定します。同様に、 は潮を決定します。これは漁師にとって重要でした。人々は星を研究して未来を予測したり、神とコミュニケーションしたりしました。

計算用のバビロニアタブレット2

天文学者は、夜の特定の時間に見える星座が毎日ほんの少しずつシフトしていることに気づきました-およそ360日後、彼らは彼らの出発点に戻った。そして、これが彼らが円を360度に分割した理由かもしれません。

Midnight on day ${day}

もちろん、実際には1年間に365日(正確には365.242199)ありますが、バビロニアの数学者は単純な日時計を使って作業しており、この近似は完全に適切でした。

また、既存の60進数システムとうまく機能しました( 6×60=360 )。このシステムは、他のほとんどの単位が10基数として測定される場合でも(例:10年間で10年、または1世紀で100年)、1分間に60秒、1時間に60分がある理由です。

私たちの多くにとって、度単位で角度を測定することは2番目の性質です。360°のビデオがあり、スケートボーダーは540を引っ張ることができ、決定を変更する誰かが180°回転する可能性があります。

しかし、数学的な観点からは、360の選択は完全に任意です。火星に住んでいた場合、円は670°で、木星での1年は10,475日でさえあります。

540マクフリップ、540°回転

ラジアン

円をいくつかのセグメント(360度など)に分割するのではなく、数学者は単位円 (半径1の円)の円周を使用して角度を測定することを好みます。

全周_に円周があります{x-equation.small(solution="2 π" keys="+ × π" numeric)}_ 。

のために半円回転 、円周に沿った対応する距離は

のために四分円回転 、円周に沿った距離は

このように角度を測定する方法はラジアンと呼ばれます(これを「半径単位」と覚えておくことができます)。

度単位のすべての角度は、ラジアン単位で同等のサイズになります。 2つの間の変換は非常に簡単です。メートルとキロメートル、または摂氏と華氏のような他の単位間で変換できるのと同じです。

360° = _2π_ラジアン


= rad


1 rad = °

ラジアン値は、 _πの_倍数として、または単一の10進数として書き込むことができます。度とラジアンで表した同等の角度サイズの表に記入できますか?

060180
ラジアン0232π

走行距離

ラジアンは、単位円の円周に沿った「移動距離」と考えることができます。これは、円形のパス上を移動するオブジェクトを操作するときに特に役立ちます。

たとえば、 国際宇宙ステーションは1.5時間に1回地球を周回しています。これは、その回転速度時間あたりのラジアン。

単位円では、回転の長さは_実際の_速度と同じです。これは、円周の長さがラジアンでの1回転と同じであるためです(両方とも2π )。

ISSの軌道の半径は6800  kmです。つまり、ISSの実際の_速度は _{span.reveal(data-when="blank-1")} =時速28483 km。

${round(p*1.5,1)}h

この例では、ラジアンが度よりもはるかに便利な単位であることがわかりますか?回転速度がわかったら、実際の速度を取得するには、半径を掛けるだけです。

これは別の例です:あなたの車には半径0.25  mの車輪があります。 20  m / sの速度で運転している場合、車のホイールはラジアン/秒 (または802π=13 1秒あたりの回転数)。

三角法

ほとんどの単純なジオメトリの問題では、度とラジアンは完全に交換可能です。どちらを選択するか、質問によって回答の単位を指定できる場合があります。ただし、より高度な三角法または微積分を学ぶと、そのラジアンは度よりもはるかに便利です。

ほとんどの計算機には、度とラジアンを切り替えるための特別なボタンがありますsincostanのような三角関数は角度を入力として取り、それらの逆関数arcsinarccosおよびarctanは角度を出力として返します。現在の計算機の設定により、これらの角度に使用される単位が決まります。

この計算機を使って計算してみてください

sin(30°)= cos(1°)=
sin(30 rad)= cos(1 rad)=

DEG
7
8
9
sin
4
5
6
cos
1
2
3
tan
0
.
C
mode

ラジアンを使用すると、正弦関数を使用するときに特に興味深い利点が1つあります。もしθが非常に小さい角度(20°または0.3 rad未満)である場合sinθθ 。例えば、

罪( ${x}${sin(x)}

これは小角近似と呼ばれ、三角関数を含む特定の方程式を大幅に簡略化できます。これについては、今後さらに詳しく学びます。