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円と円周率球、円錐、円柱

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前のセクションでは、平面上の円の特性を調査しました。しかし、私たちの世界は実際には3次元なので、円に基づくいくつかの3Dソリッドを見てみましょう。

円柱は、曲面で結合された2つの合同で平行な円で構成されます。

円錐には、単一の点(頂点と呼ばれる)に結合された円形のベースがあります。

の表面上のすべての点は、その中心からの距離が同じです。

球の定義が定義とほとんど同じであることに注意してください – 3次元を除いて!

シリンダー

ここでは、ドイツのオーバーハウゼンにある円筒形の_ガスメーター_を見ることができます。近くの工場や発電所で燃料として使用されていた天然ガスを貯蔵するために使用されていました。 Gasometerの高さは120mで、底面と天井は半径35mの2つの大きな円です。エンジニアが回答したいと思う2つの重要な質問があります。

*どれだけの天然ガスを貯蔵できますか?これは円柱の 。 * {.reveal(data-when="blank-0")}ガスメーターを構築するにはどのくらいの鋼が必要ですか?これは(およそ) 円柱の

これらの両方の結果の数式を見つけてみましょう!

ガスメーターオーバーハウゼン

円柱の体積

シリンダーの上部と下部には、2つの合同円、と呼ばれる塩基です。の円柱の高さhは、これらの底面間の垂直距離であり、 円柱の半径rは、単に円形の底面の半径です。

を使用してシリンダーを近似できます${n}両面プリズム 。辺の数が増えると、プリズムはますます円柱のように見え始めます。

円柱は厳密にはプリズムではありませんが、多くの特性を共有しています。どちらの場合も、ボリュームの面積を掛けることでボリュームを見つけることができます彼らの拠点 身長これは、半径を持つ円柱が r_と高さ{.b.m-blue} hに_はボリュームがあります

V=

半径と高さは同じ単位を使用する必要があることに注意してください。たとえば、 rと_hの_両方がcmの場合、体積は次のようになります。

上記の例では、円柱の2つの底面は常に互いに直接上にありました 。これは右円柱と呼ばれます。底面が互いに直接上にない場合は、 斜めの円柱になります。底面はまだ平行ですが、側面は90度ではない角度で「傾いている」ように見えます。

イタリアの_ピサの斜塔_は、かなり斜めの円柱ではありません。

斜めの円柱の体積は、同じ半径と高さの正しい円柱の体積とまったく同じになります。これは、イタリアの数学者Bonaventura Cavalieriにちなんで名付けられたCavalieriの原理によるものです。2つの固体がすべての高さで同じ断面積を持つ場合、それらは同じ体積になります。

シリンダーを多数の薄いディスクにスライスすることを想像してください。次に、これらのディスクを水平にスライドさせて、斜めの円柱を作成します。個々のディスクのボリュームは、斜めにしても変化しないため、合計ボリュームも一定のままです。

円柱の表面積

シリンダーの表面積を見つけるには、それをフラットネットに「展開」する必要があります。たとえば、食品の缶のラベルをはがすことで、これを自分で試すことができます。

2つのがあります 。1つは円柱の上部にあり、もう1つは円柱の下部にあります。湾曲した側は実際には大きな

  • 2つの円にはそれぞれ領域があります
  • 長方形の高さは 長方形の幅はと同じです円の

これは、半径r 、高さ_hの_円柱の総表面積が、

A=

シリンダーは、ソーダ缶からトイレットペーパーや水道管まで、世界中のどこにでもあります。他に例はありますか?

上の_Gasometerの_半径は35m、高さは120mでした。これで、その体積は約と計算できますm3そしてその表面積は約 m2

コーン

円錐は、円形の3次元ソリッドです。 ベース 。図に示されているように、その側面は「上向きに先細り」になっており、 頂点

円錐の半径は、円形基部の半径であり、そしてコーンの高さは、ベースから頂点までの垂直距離です。

以前に出会った他の形と同じように、コーンは私たちの周りのいたるところにあります。アイスクリームコーン、トラフィックコーン、特定の屋根、さらにはクリスマスツリーです。他に何が考えられますか?

コーンのボリューム

以前は、プリズムを使用して近似することで円柱の体積を見つけました。同様に、 ピラミッドを使用して近似することにより、円錐の体積を求めることができます。

ここであなたは見ることができます${n}両面ピラミッド。辺の数が増えるにつれて、ピラミッドはますます円錐のように見え始めます。実際、円錐は_無限に多くの_側面を_持つ_ピラミッドと考えることができます。

これは、ボリュームの方程式も使用できることも意味します。 V=13base×height 。円錐の底面は円であるため、半径r 、高さ_hの_円錐の体積は

V=

円柱の体積の方程式との類似性に注意してください。同じ底面と高さで円錐の_周り_に円筒を描くことを想像してください–これは外接円筒と呼ばれます。今、コーンはちょうどを占めますシリンダーの体積の

注:近似としての無限に多くの小さな側面は少し「不正確」であると考えるかもしれません。数学者は長い時間をかけて、円錐の体積を計算するより簡単な方法を見つけようとしました。 1900年に、偉大な数学者のデイビッドヒルベルトは、数学における23の最も重要な未解決の問題の1 つにさえそれを挙げました!今日、私たちはそれが実際には不可能であることを知っています。

円柱のように、円錐は「まっすぐ」である必要はありません。頂点がベースの中心の真上にある場合は、 右円錐になります。それ以外の場合は、 斜め円錐と呼びます。

ここでも、Cavalieriの原理を使用して、ベースと高さが同じである限り、すべての斜めの円錐が同じ体積であることを示すことができます。

コーンの表面積

円錐の表面積を見つけるのは少し難しいです。以前と同様に、コーンをそのネットに解明することができます。スライダーを動かして、何が起こるかを確認します。この場合、1つの円と1つの

次に、これら両方のコンポーネントの面積を合計する必要があります。のベースは半径_rの_円なので、面積は

ABase=

の半径セクターは、円錐の縁から頂点までの距離と同じです。これはコーン傾斜高さs。通常とは異なります高さhピタゴラスを使用して傾斜高さを見つけることができます:

s2=
s=

扇形の弧の長さと同じです ベース2πr 。これで、前のセクションで導出したを使用してセクターの面積を見つけることができます。

ASector=ACircle×arccircumference
=

最後に、面積を合計するだけですベースとの面積セクター 、全体の表面を取得するには、円錐形です:

A=

は、指定された距離から同じ距離にあるすべての点で構成される3次元の立体ですセンターC。この距離は球の半径r

球は「3次元の 」と考えることができます。まるで円のように、球も直径d半径の長さのだけでなく、和音と割線。

前のセクションでは、ギリシャの数学者エラトステネスが極の影を使用して地球の半径を計算する方法を学びました。これは6,371 kmでした。それでは、地球の総体積と表面積を見つけてみましょう。

球のボリューム

球の体積を見つけるには、もう一度Cavalieriの原理を使用する必要があります。まず、半球(赤道に沿って半分に切り取った球)から始めましょう。また、半球と同じ半径と高さの円柱が必要ですが、中央に逆円錐が切り取られています。

下のスライダーを動かすと、ベースの上の特定の高さでこれらの両方の形状の断面を確認できます。

距離を置いて、これらの両方のソリッドの断面積を見つけてみましょうベースの上の高さh

半球の断面は常に

断面の半径xはaの一部です直角三角形なので、 ピタゴラスを使用できます:

r2=h2+x2

今、断面の面積は

A=

切り取られたシリンダーの断面は常に

穴の半径はhです。大きな円の面積から穴の面積を引くと、リングの面積がわかります。

A=πr2πh2
=πr2h2

どちらのソリッドも、すべてのレベルで同じ断面積を持っているようです。カバリエリの原理により、両方の固体も同じなければなりません 円柱の体積と円錐の体積を引くことで、半球の体積を求めることができます。

VHemisphere=VCylinderVCone
=

球は半球で構成され、 つまり、そのボリュームは

V=43πr3

地球は(おおよそ)半径6,371  kmの球体です。したがって、そのボリュームは

V=
= 1 km3

地球の平均密度は5510kg/m3 。これは、その総質量が

Mass=Volume×Density6×1024kg

これは6の後に24のゼロが続きます!

円柱、円錐、球の体積の方程式を比較すると、ジオメトリで最も満足できる関係の1つに気付くでしょう。ベースの直径と同じ高さの円柱があるとします。これで、円錐と球の両方をその内部に完全に収めることができます。

+

この円錐には半径がありますrそして高さ2r 。そのボリュームは

=

この球には半径がありますr 。そのボリュームは

この円柱には半径がありますrそして高さ2r 。そのボリュームは

我々はた場合、どのように注意してください円錐と球の体積をと、円柱の体積が正確に得られます。

球の表面積

球の表面積の式を見つけることは非常に困難です。 1つの理由は、以前のコーンやシリンダーの場合のように、球の表面を開いて「平らにする」ことができないためです。

これは、マップを作成しようとするときの特定の問題です。地球の曲面は3次元ですが、印刷された地図はすべて平面で2次元でなければなりません。これは、地理学者が特定の領域を伸ばしたりつぶしたりして、ごまかす必要があることを意味します。

ここでは、 プロジェクションと呼ばれるいくつかの異なるタイプのマップを見ることができます。赤い正方形を動かしてみて、この領域地球上で_実際に_どのよう見えるかを見てください。

Mercator
Cylindrical
Robinson
Mollweide

As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the three-dimensional globe.

球の表面積を見つけるには、別の形状(たとえば、たくさんの面を持つ多面体)を使用して、球をもう一度近似します。面の数が増えると、多面体はますます球体のように見え始めます。

近日公開:球の表面積の証明