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フラクタルシェルピンスキートライアングル

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前の章で見たフラクタルの1つは、ポーランドの数学者Wac {awSierpińskiにちなんで名付けられたSierpinski三角形でした。これは、1つの大きな正三角形から始めて、中心から小さな三角形を繰り返しカットすることで作成できます。

ワクワフ・シェルピスキはこの三角形の性質について考えた最初の数学者でしたが、アートワーク、パターン、モザイクの何世紀も前に登場しました。

ローマのさまざまな教会の床タイルの例をいくつか示します。

結局のところ、シェルピンスキーの三角形は、数学の他のさまざまな領域に現れており、それを生成するにはさまざまな方法があります。この章では、それらのいくつかについて説明します。

パスカルの三角形

パスカルの三角形の章にあるシェルピンスキーの三角形をすでに覚えているかもしれません。これは、すべての数値が上記の2つの数値の合計である数値ピラミッドです。下の三角形の_偶数_個の数字をすべてタップしてハイライト表示し、パターンに気づいたかどうかを確認します。

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パスカルの三角形はいつまでも下向きに続くことができ、シェルピンスキーパターンは次第に大きくなる三角形で続きます。行16から始まる、さらに大きな三角形の始まりを既に確認できます。

隣接する2つのセルが2で割り切れる場合、下のセルの合計も2で割り切れる必要があります。そのため、色付きの三角形(または単一のセル)しか取得できません。もちろん、_2以外の数値_で割り切れるすべてのセルに色を付けることもできます。それらの場合に何が起こると思いますか?

Divisible by ${n}:

ここでは、パスカルの三角形の最初の128行の小さなバージョンを見ることができます。 ${n}で割り切れるすべてのセルをハイライトしました–何に気付きましたか?

数字ごとに、シェルピンスキーの三角形に似た別の三角形のパターン。 を選択した場合、パターンは特に規則的です。 数値に_多くの異なる_素因数がある場合、パターンはよりランダムに見えます。

カオスゲーム

ここでは、正三角形の3つの頂点を確認できます。灰色の領域のどこかをタップして、4番目のポイントを作成します。

簡単なゲームで遊んでみましょう。三角形の頂点の1つをランダムに選択し、点と頂点の間に線分を描画して、そのセグメントの中点を見つけます。

次に、プロセスを繰り返します。別のランダムな頂点を選択し、最後の点からセグメントを描画して、中点を見つけます。選択した三角形の頂点の色に基づいて、これらの新しい点に色を付けることに注意してください。

これまでのところ、驚くべきことは何も起こっていません。しかし、同じプロセスを何度も繰り返すのを見てください。

このプロセスは、__カオスゲーム__と呼ばれます。最初はいくつかの点があるかもしれませんが、同じ手順を何度も繰り返すと、ドットの分布はシェルピンスキーの三角形のように見え始めます。

他にも多くのバージョンがあります。たとえば、正方形や五角形から始めたり、同じ頂点を続けて2度選択できないなどのルールを追加したり、比率で次の点を選択したりできます。セグメントに沿って12以外。これらのケースのいくつかでは、ドットのランダムな分布を取得しますが、他のケースでは、さらに多くのフラクタルを明らかにします:

Triangle
Square
Pentagon

黄金比に基づいて、またはこのを発見しましたか?

セルラーオートマトン

セルオートマトン は、多くの個別のセルで構成されるグリッドです。すべてのセルは異なる「状態」(たとえば、異なる色)にすることができ、すべてのセルの状態は周囲のセルによって決定されます。

この例では、すべてのセルを黒または白にすることができます。まず、黒い正方形が1つだけ含まれる1つの行から始めます。次のすべての行では、各セルの色はすぐ上の3つのセルによって決定されます。下の8つの可能なオプションをタップして色を反転させてください。シェルピンスキーの三角形に似たパターンを作成する一連のルールを見つけることができますか?

8つのオプションそれぞれに2つの選択肢があります。つまり、合計で28= の可能なルールがあることになります。 のようないくつかは、シェルピンスキーの三角形のように見えます。 のような他のものは完全に無秩序に見えます。それは1983年にStephen Wolframによって発見され、コンピュータはそれらを使用して乱数を生成することさえできます!

セルオートマトンは、フラクタルのように、非常に単純なルールで非常に複雑なパターンを作成する方法を示しています。自然界の多くのプロセスも単純なルールに従いますが、信じられないほど複雑なシステムを生成します。

場合によっては、これにより、セルラーオートマトンのように見えるパターン(このカタツムリの殻の色など)が表示されることがあります。

毒のカタツムリである円錐繊維

シェルピンスキーテトラヘドラ

シェルピンスキーの三角形には多くの変種があり、他のフラクタルにも同様の特性と作成プロセスがあります。上で見た_シェルピンスキーカーペット_のように、2次元に見えるものもあります。他の例は次の例のように3次元に見えます。

シェルピンスキー四面体

シェルピンスキーピラミッド

Archie