フラクタルシェルピンスキートライアングル

ローマのさまざまな教会の床タイルの例をいくつか示します。

結局のところ、シェルピンスキーの三角形は、数学の他のさまざまな領域に現れており、それを生成するにはさまざまな方法があります。この章では、それらのいくつかについて説明します。 続行

パスカルの三角形

パスカルの三角形の章にあるシェルピンスキーの三角形をすでに覚えているかもしれません。これは、すべての数値が上記の2つの数値の合計である数値ピラミッドです。下の三角形の_偶数_個の数字をすべてタップしてハイライト表示し、パターンに気づいたかどうかを確認します。

パスカルの三角形はいつまでも下向きに続くことができ、シェルピンスキーパターンは次第に大きくなる三角形で続きます。行16から始まる、さらに大きな三角形の始まりを既に確認できます。

隣接する2つのセルが2で割り切れる場合、下のセルの合計も2で割り切れる必要があります。そのため、色付きの三角形（または単一のセル）しか取得できません。もちろん、_2以外の数値_で割り切れるすべてのセルに色を付けることもできます。それらの場合に何が起こると思いますか？ 続行

ここでは、パスカルの三角形の最初の128行の小さなバージョンを見ることができます。 ${n}で割り切れるすべてのセルをハイライトしました–何に気付きましたか？

数字ごとに、シェルピンスキーの三角形に似た別の三角形のパターン。 素数triangle numberFibonacci numberを選択した場合、パターンは特に規則的です。 数値に_多くの異なる_素因数がある場合、パターンはよりランダムに見えます。

カオスゲーム

このプロセスは、__カオスゲーム__と呼ばれます。最初はいくつかの点があるかもしれませんが、同じ手順を何度も繰り返すと、ドットの分布はシェルピンスキーの三角形のように見え始めます。

他にも多くのバージョンがあります。たとえば、正方形や五角形から始めたり、同じ頂点を続けて2度選択できないなどのルールを追加したり、比率で次の点を選択したりできます。セグメントに沿って12以外。これらのケースのいくつかでは、ドットのランダムな分布を取得しますが、他のケースでは、さらに多くのフラクタルを明らかにします：

黄金比に基づいて、シェルピンスキーカーペットまたはこの五角形の雪片を発見しましたか？

セルラーオートマトン

セルオートマトン は、多くの個別のセルで構成されるグリッドです。すべてのセルは異なる「状態」（たとえば、異なる色）にすることができ、すべてのセルの状態は周囲のセルによって決定されます。

この例では、すべてのセルを黒または白にすることができます。まず、黒い正方形が1つだけ含まれる1つの行から始めます。次のすべての行では、各セルの色はすぐ上の3つのセルによって決定されます。下の8つの可能なオプションをタップして色を反転させてください。シェルピンスキーの三角形に似たパターンを作成する一連のルールを見つけることができますか？

8つのオプションそれぞれに2つの選択肢があります。つまり、合計で28= の可能なルールがあることになります。 ルール126のようないくつかは、シェルピンスキーの三角形のように見えます。 ルール30のような他のものは完全に無秩序に見えます。それは1983年にStephen Wolframによって発見され、コンピュータはそれらを使用して乱数を生成することさえできます！

シェルピンスキーテトラヘドラ

シェルピンスキーの三角形には多くの変種があり、他のフラクタルにも同様の特性と作成プロセスがあります。上で見た_シェルピンスキーカーペット_のように、2次元に見えるものもあります。他の例は次の例のように3次元に見えます。