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フラクタルマンデルブロセット

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前の章で見たフラクタルはすべて、反復 のプロセスを使用して作成されました。特定のパターンから始めて、それを何度も繰り返します。

これは、前に見た数学の別の概念に似ています。再帰シーケンスでは、特定の数値から始めて、同じ再帰式を繰り返し適用して、次の数値を取得しますシーケンス。

例として再帰的な式xn=xn12を取り上げ、その項を数直線上にプロットします。 x0の値を変更できます。

開始値x0に応じて、結果のシーケンスの動作が大きく異なることに注意してください。

x0>1の場合、シーケンスそれは無限にまで成長し続けます。

x0が–1と1の間にある場合、シーケンスに収束します。

x0<1の場合、シーケンスを分岐します。

これまでのところ、新しいことは何も学んでいません。ただし、約1世紀前に、数学者は、実際の数直線だけでなく、複素数を使用した場合にこれらのシーケンスがどうなるかを探求し始めました。彼らの発見は、すべての数学において最も驚くべき、そして美しい結果でした。

ジュリアセット

以前と同じシーケンスxn=xn12を使用してみましょう。ただし、複雑な平面上です。 x0の位置を移動して、次の条件がどうなるかを確認できます。シーケンスが収束するように見える場合は、平面上の対応する点を_{span.pill.blue}青_で色付けしましょう。

xn=xn12
x0=${complex(x0)}
x1=${complex(x1)}
x2=${complex(x2)}
x3=${complex(x3)}
Converges!Diverges!

ご覧のように、x0が単位円| outside the unit square|above the x-axis]] (原点を中心とする半径1の円)内に[[ある限り、シーケンスは収束します。

では、もう少し難しくしましょう。以前の数値を単に2乗するのではなく、定数 c_を毎回追加します(これは任意の複素数にすることができます)。つまり、`§x_n = x(n-1)^2 + c`です。私たちはまだ収束の輪を手に入れると思いますか?他にどんな形が見えると思いますか?

この図では、x0の位置とcの値を移動できます。

xn=xn12+${complex(c)}
x0=${complex(x0)}
x1=${complex(x1)}
x2=${complex(x2)}
x3=${complex(x3)}
Bounded!Diverges!
の場合はどうなるかはすでにわかっています。これは上記の例と同じです。 x0が単位円内にある限り、シーケンスの収束。
cの値を変更するとすぐに、素晴らしいことが起こります。円は非常に複雑なフラクタル形状に変形します。
になると、形状はらせん状に配置された無限に多くの小さな要素に分割されます。

場合によっては、シーケンスが1つのポイントに収束せず、三角形のように複数のポイントのサイクルに達することがあります。これらのサイクルは、__軌道 と呼ばれます。

青色で表示されている点は、対応するシーケンスが収束しているか、軌道を持っていることを意味します(境界 であると言います)。白のままになっている点は、対応するシーケンス 発散 を意味します。境界がなく、最終的には無限に膨らみます。

他に何が見つかりますか? またはのパターンを確認してください。また、cにはいくつかの値があり、_すべての_シーケンスが発散するため、複雑な平野全体は白のままです。

数字で色分けして形成されるさまざまな形状は、ジュリアセットと呼ばれます。 1918年頃、フランスの2人の数学者Gaston JuliaPierre Fatouによって独立して発見されました。

当時、ジュリアのセットが実際にどのように見えるかを視覚化するのに役立つコンピューターはありませんでした。ジュリアやファトウのような数学者は数学的にそれらについて推論することができましたが、彼らは今まで自分たちがどのように見えるかもしれないラフな手描きのスケッチを見ただけでした。

今日、この問題は発生していません。下の画像はすべて異なるジュリアセットです。異なる色は、その時点でのシーケンスが発散する_速さ_を示します。

c=0.701760.3842i

c=0.4+0.6i

c=0.285+0.01i

マンデルブロセット

さまざまなジュリアセットを作成するときに、すべてのシーケンスが発散するcの値がいくつかあり、複雑な平面全体が白のままであることに気付いたかもしれません。ジュリアとファトウの数十年後、新世代の数学者がこれらの領域がどのように見えるかをマッピングしようとしました。

前の例では、cの固定値を選択し、次にx0の位置を変更して平面に色を付けました。次に、x0=0の値を修正して、代わりにcの値を変更します。

もう一度、複雑な平面の上にペイントして、シーケンスが制限されたままの領域を明らかにします。どんな形が出ると思いますか?

xn=xn12+${complex(c)}
x0=${complex(x0)}
x1=${complex(x1)}
x2=${complex(x2)}
x3=${complex(x3)}
Bounded!Diverges!

このフラクタルはマンデルブロセットと呼ばれ、90度回転すると、頭、体、2本の腕を持つ人のように見えます。それは1978年に初めて数学者ロバート・ブルックスとピーター・マテルスキーによる研究論文で定義され、描かれました:

数年後、Benoit Mandelbrotは、IBMの強力なコンピュータを使用して、フラクタルをより詳細に視覚化しました。最初のプリントアウトは、期待したものとは異なって見えました–プリンターで作業している技術者がその端の周りの「あいまいさ」を、フラクタルの明確な特徴ではなく、ダスト粒子またはプリンターのエラーが原因であると想定してクリーンアップしていることに気付きました。 !

すべてのフラクタルと同様に、マンデルブロ集合を永久に「拡大」して、あらゆるスケールで新しいパターンを見つけることができます。ここでは、タツノオトシゴの谷 と呼ばれるマンデルブロセットの一部を拡大できます。黒点は、シーケンスが制限されているマンデルブロ集合の_内部_です。色付きの点は、シーケンスが分岐するマンデルブロ集合の_外側_であり、異なる色は、無限に成長する_速さ_を示します。

Scale: ${pow(scale)}

このスライダーは27の個別の画像で構成され、最大14兆を超えるズームレベル、つまり254です。要するに、最新のラップトップでレンダリングするのに約45分かかりました。マンデルブロ集合は、単一の単純な方程式xn=xn12+cで作成できますが、それは無限に複雑で驚くほど美しいです。

マンデルブロ集合内で cの値を移動すると、奇妙なプロパティに気付くでしょう:

  • マンデルブロ集合の本体内のすべてのシーケンスは、を単一点に収束させます。
  • 上部の大きな電球 内のシーケンスは、 ポイントで構成される軌道 に到達します。
  • この小さい電球 のシーケンスは、軌道の長さが です。

すべての球根には異なるサイズの軌道があり、小さい球根は軌道のポイントがますます増えています。これらの軌道のサイズは、カオス理論 の重要な概念である ロジスティックマップ と密接に関連しています。

ベルノアットマンデルブロは、彼の人生のほとんどをフラクタルの研究と、_ラフネス自己相似性_の数学に捧げました。彼の作品は、物理学、気象学、神経学、経済学、地質学、工学、コンピューターサイエンス、および他の多くの分野で応用されていました。

1985年、マンデルブロセットは_Scientific American_誌の表紙に登場し、それ以来、世界で最も有名な数学的形状の1つになりました。 Tシャツやミュージックビデオ、スクリーンセーバーとして見つけることができ、多くの人気のある本や映画で使用されています。