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フラクタルはじめに

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自然を見回すと、次のような複雑な植物に気づいたかもしれません。

この シダ は、大きな葉から枝分かれした多くの小さな葉で構成されています。

このロマネスコブロッコリーは、より大きなで構成され、より大きなコーンを中心にらせん状になっています。

最初は、これらは非常に複雑な形状のように見えますが、よく見ると、どちらも比較的単純なパターンに従っていることに気付くでしょう:植物のすべての個々の部分は、全体とまったく同じに見えます植物、ちょうど小さい。同じパターンが小さなスケールで何度も繰り返されます。

数学では、このプロパティを 自己相似性 と呼び、それを持つ形状をフラクタルと呼びます。それらはすべての数学で最も美しく、最も奇妙なオブジェクトの一部です。

独自のフラクタルを作成するには、単純なパターンから始めて、小さなスケールで繰り返します。

最も単純なパターンの1つは、ラインセグメントで、もう2つのセグメントが一方の端から分岐しています。このパターンを繰り返すと、これらの青いセグメントの両方に、その端にさらに2つの分岐があります。

青い点を移動して、すべての枝の長さと角度を変更できます。次に、下のスライダーを使用して反復回数を増やします。

枝の位置に応じて、上の、またはのように、完全に異なるパターンを作成できます。他に何が見つかりますか?

もう1つの有名なフラクタルは、Sierpinski三角形です。この場合、大きな正三角形から始めて、残りの部分から小さな三角形を繰り返し切り取ります。

最終形状がそれ自体の3つの同一のコピーで構成され、これらのそれぞれが三角形全体のさらに小さなコピーで構成されていることに注意してください!あなたは永遠に三角形をズームインし続けることができ、パターンと形は常に繰り返され続けます。

この章の冒頭にある植物は、フラクタルのように_見えます_が、実際に_真の_フラクタルを作成することは明らかに不可能です。同じパターンを何度も何度も繰り返し続けると、最終的には分割できない細胞、分子、または原子に到達することになります。

ただし、数学を使用すると、実際のフラクタルが「持つ」はずの性質について考えることができます。これらは非常に驚くべきことです...

フラクタル次元

まず、フラクタルの次元について考えてみましょう。線の寸法はです。 2倍に拡大すると、その長さは21=2倍になります。明らかに!

正方形の寸法はです。 2倍に拡大すると、その面積は22= 倍増加します。

キューブのディメンションはです。 2倍に拡大すると、ボリュームは23= 倍に増加します。 画像内の大きな立方体に注目してください小さい方の8つのコピーで構成されています!

次に、シェルピンスキーの三角形を見てみましょう。 2倍に拡大すると、「面積」が倍に増加していることがわかります。

dがシェルピンスキー三角形の次元であるとしましょう。上記と同じパターンを使用して、2d=3を取得します。つまり、d = ≈1.585…

しかし、ちょっと待って…何かが整数ではない次元を持つことができるのでしょうか?それは不可能に思えますが、これはフラクタルの奇妙な特性の1つにすぎません。実際、これがフラクタルに彼らの名前を与えるものです:彼らは 分数次元 を持っています。

すべての反復で、シェルピンスキー三角形の一部の領域を削除します。これを無限に実行できるとしたら、実際には領域が残っていないことになります。そのため、シェルピンスキーの三角形は2次元の領域と1次元の線の間にあるものです。

多くのフラクタルは 自己相似 ですが、より適切な定義は、フラクタル非整数次元 を持つ形状であるということです。

コッホスノーフレーク

自然にはフラクタルのような形がたくさんあります。この章の初めにすでにいくつかの植物を見てきました。他の素晴らしい例は雪片と氷の結晶です:

独自のフラクタルスノーフレークを作成するには、繰り返し適用できる簡単な手順をもう一度見つける必要があります。

シェルピンスキーの三角形と同様に、単一の正三角形から始めましょう。ただし、すべてのステップで小さな三角形を_削除_するのではなく、エッジに沿って小さな三角形を_追加_します。すべての三角形の辺の長さは、前のステップの三角形のです。

結果の形状はコッホスノーフレークと呼ばれ、スウェーデンの数学者ヘルゲフォンコッホにちなんで名付けられました。もう一度、スノーフレークのエッジの小さなセクション大きなセクションとまったく同じに見えることに注意してください。

コッホスノーフレークの1つのエッジセグメントを3倍に拡大すると、その長さはになります。

上記と同じ次元とスケール係数の関係を使用して、式を取得します。 これは、Kochスノーフレークの次元がd=log341.262であることを意味します。

エリア

Kochスノーフレークの作成は、再帰シーケンスのようなものです。最初の形(三角形)がわかっており、(各エッジに三角形を追加することで)1つの項から次の項に移動する方法を知っています。

新しい三角形

新しい三角形

新しい三角形

最初の反復の後、追加される新しい三角形の数は、すべてのステップで倍に増加します。同時に、これらの新しい三角形の面積は、ステップごとにの係数で減少します。

最初の三角形の面積が1であるとしましょう。次の3つの三角形の合計面積は3×19=13です。次のステップはすべて、共通の比率を形成します。

無限の幾何学的系列の合計の式を使用すると、コッホ雪片の総面積は

A=1+13×1=85=1.6

境界

Kochスノーフレークの周長を計算することもできます。すでに見てきたように、周囲の長さはステップごとにの係数で変化します。

これは、もう一度、幾何学的な系列があることを意味します。ただし、この場合、これは、Kochスノーフレークの周囲が実際に無限に長いことを意味します!

これが直観に反するように見える場合は、すべてのステップで境界に43を乗算し、これを無限に繰り返します。

_有限_の領域と_無限_の円周を持つ形状を作成できるとは考えられませんが、これはフラクタルの予期しない多くの特性の1つにすぎません。

独自のフラクタルを作成する他の方法を考え出すことはできますか?

「凍ったフラクタルに私の魂は渦巻いている…」

メンガースポンジ

上記の例のように、フラクタルは「フラット」である必要はありません。 3次元に見える最も有名なフラクタルの1つは、1926年に初めてそれを説明した数学者カールメンガーにちなんで名付けられたメンガースポンジです。

私たちは固体の立方体から始め、その側面に次第に小さな穴をあけます。穴の新しい繰り返しごとに、前の穴の繰り返しの幅がになります。

3×3×3キューブは27個の小さいキューブで構成されていますが、ここではこれらのいくつかを削除しました。メンガースポンジは、それ自身のコピーで構成され、3倍小さくなっています。

これで、上記のKochスノーフレークの場合と同じように、メンガースポンジの寸法dを計算することができます。この場合、3d=20またはd=log3202.727を取得します。

無限に何度も穴を空けることを想像すると、実際のボリュームは残っていません。そのため、立方体は「完全ではない」3次元です。

フラクタル海岸線

これまでに見たすべてのフラクタルの主要な特徴の1つは、いつまでも「ズームイン」して、常に新しいパターンを見つけることができることです。 1920年頃、イギリスの数学者ルイスフライリチャードソンは、同じことが多くの国の境界または海岸線に当てはまることを認識しました。

国の基本的な形状から始めて、ズームインすると、河川の入り江、入り江、河口を追加し、次に個々の崖、岩、小石などを追加します。

これは、国の境界線の長さを計算しようとするときに重大な問題です。どのくらいズームインするか、どの隅と隅を含めるかをどのように決定しますか?

たとえば、イギリスの海岸線の長さを測定する方法の1つは、長い定規を使って、ビーチを一周して、すべての距離を合計することです。

ルーラーが${rulers[index]} kmの長さの場合、${count}回使用する必要があるため、合計の海岸線は${count}×${rulers[index]} = ${count * rulers[index]} kmになります。

どんどん小さくしていく定規を使い続けるだけで、海岸線の長さの結果が少しずつ長くなります。以前のコッホスノーフレークと同じように、イギリスの海岸線は無限に長いようです。これはしばしば 海岸線パラドックス と呼ばれます。

数十年後、数学者Benoit Mandelbrotは、IBMで働いていたときに、破棄された図書館の本でリチャードソンの研究に遭遇しました。彼はその重要性と、それがフラクタルと次元に関する最近の研究とどのように関連しているかを認識しました。

英国の海岸線は確かにフラクタルを「見ている」が、これまでに見た他のフラクタルとは異なり、_自己相似_ではない。そのサイズを見つけるために、グリッド上にそれを描画し、それが交差するセルの数を数えることができます。

最初は、 88 個の交差するセルがあります。海岸線を2倍に拡大すると、交差するセルは 197 であり、2倍以上になります。

海岸線のサイズは19788倍に増加しました。以前と同様に、これは海岸線の次元が

d=log2197881.16

これをより大きなグリッドで繰り返すと、英国の海岸線の寸法は実際には約1.21であることがわかります。マンデルブロは、このフラクタル次元が形状の ラフネス の尺度でもあることに気づきました。彼は、数学と科学の他の多くの分野で重要なアプリケーションを見つけた新しい概念です。

自然と技術におけるより多くのフラクタル

本当のフラクタルは自然界には決して現れませんが、フラクタルのように_ほとんど_見えるオブジェクトがたくさんあります。すでに植物、雪片、海岸線を見てきましたが、さらにいくつかの例を次に示します。

中央アジアの山脈

インドのガンジス川デルタ

稲妻

網膜の血管

アメリカのグランドキャニオン

これらのオブジェクトはすべて完全にランダムに見える場合がありますが、フラクタルと同様に、オブジェクトの形成方法を決定する基本的なパターンがあります。数学は形状をよりよく理解するのに役立ち、フラクタルは医学、生物学、地質学、気象学などの分野での用途があります。

コンピュータ生成のフラクタル地形

また、フラクタルを使用して、自然のリアルな「コピー」を作成することもできます。たとえば、ビデオゲームやコンピューター生成の映画で使用される風景やテクスチャなどです。この画像の水、山、雲はすべてフラクタルの助けを借りてコンピューターで作成されています!

また、このプロセスを逆にしてデジタル画像を圧縮し、ファイルサイズを小さくすることもできます。最初のアルゴリズムは1980年代にマイケルバーンズリーとアランスローンによって開発され、現在も新しいアルゴリズムが研究されています。

Archie